Question

12．設F₁、F₂分別是橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1的左、右焦點，若Q是該橢圓上的一個動點，則$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$的最大值和最小值分別為（　　）

• A． 1與-2
• B． 2與-2
• C． 1與-1
• D． 2與-1

Answer 1

分析 橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，設Q（x，y），則$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3，由x∈[-2，2]，能求出$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$的最大值和最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
設Q（x，y），則$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴當x=0，即點Q為橢圓短軸端點時，$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$有最小值-2．
當x=±2，即點Q為橢圓長軸端點時，$\overrightarrow{Q{F_1}}$•$\overrightarrow{Q{F_2}}$有最大值1．
故選：A．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合運用，具體涉及到橢圓的簡單性質、向量的數(shù)量積公式等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．