Question

13．已知a，b，c為△ABC中角A，B，C的對邊，且a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 先將b、c用a表示，然后判定a、b、c的大小，根據(jù)大邊對大角，最后根據(jù)余弦定理求出最大內(nèi)角即可判斷三角形的形狀．

解答 解：由a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，
則a²-a-2b-（a+2b+3）=0，
則有b=$\frac{1}{4}$（a²-2a-3）=$\frac{1}{4}$（a-3）（a+1），c=$\frac{1}{4}$（a²+3），
由于b＞0，則a²-2a-3＞0，即有a＞3．
則有b-c=-$\frac{1}{2}$（a+3）＜0，
即b＜c   ①
又c-a=$\frac{1}{4}$（a²-4a+3）=$\frac{1}{4}$（a-3）（a-1）＞0，
則c＞a   ②．
由①②可得c邊最大．
在三角形ABC中，有余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（b+c）（b-c）}{2ab}$
=$\frac{-\frac{1}{4}a（a-3）（a+1）}{\frac{1}{2}a（a-3）（a+1）}$=-$\frac{1}{2}$，
所以C=120°，
則△ABC為鈍角三角形．

點評 本題主要考查了三角形的邊角關(guān)系，余弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值，利用作差的方法得到c為最大邊是解題的關(guān)鍵，同時考查了利用了消元的思想，屬于中檔題．