Question

19．如圖是函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的大致圖象，則x₁²+x₂²等于（　�。�

• A． $\frac{16}{9}$
• B． $\frac{10}{9}$
• C． $\frac{8}{9}$
• D． $\frac{28}{9}$

Answer 1

分析 解：由圖象知f（-1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x₁和x₂是f′（x）=0的根，使用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁•x₂=-$\frac{2}{3}$，則由x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂ 代入可求得結(jié)果．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，由圖象知，-1+b-c+d=0，0+0+0+d=0，
8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=-1，c=-2
∴f′（x）=3x²+2bx+c=3x²-2x-2． 由題意有x₁和x₂是函數(shù)f（x）的極值，
故有x₁和x₂是f′（x）=0的根，∴x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁•x₂=-$\frac{2}{3}$．
則x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=$\frac{4}{9}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{9}$
故選：A．

點評 本題考查一元二次方程根的分布，根與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)在某點取的極值的條件，以及求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬中檔題．