Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）是定義R上的奇函數(shù)，若f（x）的最小周期為5，且f（2）≥2，f（3）=$\frac{{2}^{m+1}-3}{{2}^{m}+1}$，則實數(shù)m的最大值為-2．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的周期性和奇偶性可得：f（3）=-f（2）≤-2，代入f（3）列出不等式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍，即可求出實數(shù)m的最大值．

解答 解：∵f（x）的最小正周期為5，
∴f（3）=f（3-5）=f（-2），
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）≥2，
∴f（-2）=-f（2）≤-2，則f（3）=-f（2）≤-2，
∵f（3）=$\frac{{2}^{m+1}-3}{{2}^{m}+1}$，∴$\frac{{2}^{m+1}-3}{{2}^{m}+1}$≤-2，
化簡得2^m+2≤1，即m+2≤0，解得m≤-2，
∴實數(shù)m的最大值為-2，
故答案為：-2．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．