Question

7．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^-x，其中a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）結(jié)合（1）得到f（x）在（0，2-a）遞增，在（2-a，+∞）遞減，滿足條件，從而得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²+ax+a）e^-x，
∴f′（x）=-$\frac{x[x+（a-2）]}{{e}^{x}}$，
①a-2＞0即a＞2時，2-a＜0，
令f′（x）＞0，解得：2-a＜x＜0，
令f′（x）＜0，x＞0或x＜2-a，
∴f（x）在（-∞，2-a）遞減，在（2-a，0）遞增，在（0，+∞）遞減；
②a-2=0即a=2時，f′（x）=-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$＜0，f（x）在R遞減；
③a-2＜0即a＜2時，2-a＞0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2-a，
令f′（x）＜0，x＞2-a或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，2-a，）遞增，在（2-a，+∞）遞減；
（2）由（1）得：2＜2-a＜3，解得：-1＜a＜0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．