Question

2．已知曲線C在直角坐標系xOy下的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（Ⅱ）直線l的極坐標方程是ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=3$\sqrt{3}$，射線OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）與曲線C交于A點，與直線l交于B，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為：（x-1）²+y²=3，展開利用互化公式即可得出極坐標方程．
（II）射線OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）分別與曲線C，直線l的極坐標方程聯(lián)立解出交點坐標即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)化為：（x-1）²+y²=3，展開為：x²+y²-2x-2=0，
化為極坐標方程：ρ²-2ρcosθ-2=0．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，化為：ρ²-ρ-2=0，ρ＞0，解得ρ=2．
射線OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）與曲線C交于A點$（2，\frac{π}{3}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ρcos（θ-\frac{π}{6}）=3\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
解得ρ=6，射線OT：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）與直線l交于B$（6，\frac{π}{3}）$，
∴線段AB的長=6-2=4．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、直參數(shù)方程化為普通方程、曲線與射線的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．