Question

11．如圖，一隧道截面由一個長方形和拋物線構(gòu)成，現(xiàn)欲在隧道拋物線拱頂上安裝交通信息采集裝置，若位置C對隧道底AB的張角θ最大時采集效果最好，則采集效果最好時位置C到AB的距離是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$m
• B． 2$\sqrt{3}$m
• C． 4m
• D． 6m

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，設(shè)C（x，y）（y＞-6），由A（-3，-6），B（3，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+4}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-4}$，求出tan∠BCA，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0），
將點（4，-4）代入，可得p=2，
所以拋物線方程為x²=-4y，
設(shè)C（x，y）（y＞-6），則
由A（-4，-6），B（4，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+4}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-4}$，
∴tan∠BCA=$\frac{\frac{y+6}{x+4}-\frac{y+6}{x-4}}{1+\frac{y+6}{x+4}•\frac{y+6}{x-4}}$=$\frac{-8（y+6）}{{y}^{2}+8y+20}$，
令t=y+6（t＞0），則tan∠BCA=$\frac{-8t}{{t}^{2}-4t+8}$=$\frac{-8}{t+\frac{8}{t}-4}$≤$\frac{-8}{4\sqrt{2}-4}$
∴t=2$\sqrt{2}$時，位置C對隧道底AB的張角最大，
故選：A．

點評 本題考查拋物線的方程與應(yīng)用，考查基本不等式，確定拋物線的方程及tan∠BCA，正確運用基本不等式是關(guān)鍵．