Question

9．拋物線C：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線的方程為y=-1．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在拋物線C上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P處的直線交C于另一點(diǎn)Q，滿足以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且PQ與拋物線C在點(diǎn)P處的切線垂直，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的準(zhǔn)線方程，即有$-\frac{P}{2}=-1$，可得p=1，即有拋物線方程；
（2）假設(shè)在拋物線C上存在點(diǎn)P，滿足條件．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，可得
PQ：y=-$\frac{2}{{x}_{1}}$x+2+y₁，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得向量FP，F(xiàn)Q的坐標(biāo)，再由向量垂直的條件，化簡(jiǎn)整理即可得到P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得，$-\frac{P}{2}=-1$，解得p=2，
則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y；
（2）假設(shè)在拋物線C上存在點(diǎn)P，滿足條件．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
y′=$\frac{1}{2}$x，在P處的切線的斜率為k=$\frac{{x}_{1}}{2}$，
即有PQ：y=-$\frac{2}{{x}_{1}}$x+2+y₁，
代入拋物線方程x²=4y可得，
x²+$\frac{8}{{x}_{1}}$x-8-4y₁=0，
x₁+x₂=-$\frac{8}{{x}_{1}}$，x₁x₂=-8-4y₁，
x₂=-$\frac{8}{{x}_{1}}$-x₁，y₂=$\frac{4}{{y}_{1}}$+y₁+4，
$\overrightarrow{FP}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{FQ}$=（x₂，y₂-1），
$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=0，即有x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
-8-4y₁+y₁（$\frac{4}{{y}_{1}}$+y₁+4）-（$\frac{4}{{y}_{1}}$+2y₁+4）+1=0，
y₁³-2y₁²-7y₁-4=0，
（y₁+1）²（y₁-4）=0，
解得y₁=4，
故存在這樣的點(diǎn)P，且為（±4，4），滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．