Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax．
（I）若f（x）在x=0處的切線過點(diǎn)（2，-1），求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）令a=1，F(xiàn)（x）=xf（x）-x²，若F（x₁）=F（x₂）（x₁≠x₂），證明：x₁+x₂＜-2．

Answer 1

分析 （I）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在x=0處的切線方程，由切線過點(diǎn)（2，-1）可求a的值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類求解函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）由題意求得F（x）=xf（x）-x²=xe^x，求出函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，可得在x=-1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值和最小值．然后再構(gòu)造輔助函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論．

解答 （1）解：由f（x）=e^x+ax，得f′（x）=e^x+a，
f（0）=1，f′（0）=a+1，
∴f（x）在x=0處的切線為y=（a+1）x+1，
∵f（x）在x=0處的切線過點(diǎn)（2，-1），
∴-1=2（a+1）+1，解得a=-2；
（2）解：∵f′（x）=e^x+a，
當(dāng)a≥-e時(shí)，f′（x）=e^x+a≥0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜-e時(shí)，由f′（x）=e^x+a=0，得e^x=-a，x=ln（-a），
∴當(dāng)x∈（1，ln（-a））時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
（3）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x+x，
F（x）=xf（x）-x² =xe^x+x²-x²=xe^x，
F′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），
由F′（x）=0，得x=-1，
∴當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)．
在x=-1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值和最小值．
又當(dāng)x趨近于-∞時(shí)，F(xiàn)（x）負(fù)向趨近于0，且F（0）=0，
∴如果存在x₁≠x₂，使得F（x₁）=F（x₂），不失一般性令x₁＜x₂，則x₁＜-1，-1＜x₂＜0．
對(duì)于任意的x∈（-1，0），分別取兩點(diǎn)-1-x、-1+x．
現(xiàn)在比較F（-1-x）和F（-1+x）的大�。�
F（-1-x）-F（1+x）=（-1-x）e^-1-x-（-1+x）e^-1+x=$\frac{-[（1+x）+（1-x）{e}^{2x}]}{{e}^{1+x}}$，
令g（x）=-（1+x）-（1-x）e^2x，x∈（-1，0）．
有g(shù)′（x）=-1+（2x-1）e^2x，x∈（0，1）．
當(dāng)x=0時(shí)，g′（x）=0；
當(dāng)x＜0時(shí)，-1+（2x-1）e^2x單調(diào)遞間且小于0．
∴在（-1，0）上g（x）是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）＜g（0）=0，
有F（-1-x）-F（-1+x）＜0，
即F（-1+x）＞F（-1-x），
∵-1＜-1-x＜0，-1+x＜-1，F(xiàn)（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞減且F（-1+x）＞F（-1-x），
在-1+x點(diǎn)的左側(cè)必能找到一點(diǎn)x₂，使得F（-1-x）=F（x₂），x₂＜-1+x．
故（-1+x）+x₂＜（-1+x）+（-1-x）=-2
令-1+x=x₁，
則為x₁+x₂＜-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查分析問題和解決問題的能力，屬壓軸題．