Question

14．如圖所示，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若E為BC的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）取G為AD邊的中點，連接PG，證明PG⊥AD，BG⊥AD，即可證明AD⊥平面PGB，然后證明AD⊥PB．
（2）當F為PC邊的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：取PC的中點F，連接DE、EF、DF，通過證明BG⊥PG，PG⊥AD，AD∩BG=G，PG⊥平面ABCD，即可證明平面DEF⊥平面ABCD．

解答 （2）證明：取G為AD邊的中點，連接PG，
因為△PAD為正三角形，G為AD邊的中點，
所以PG⊥AD，
在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G為AD邊的中點，所以BG⊥AD，
因為PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，
所以AD⊥平面PGB，因為PB?平面PGB．
所以AD⊥PB．
（3）解：當F為PC邊的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：
取PC 的中點F，連接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，
EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因為BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因為PG⊥AD，AD∩BG=G，
所以PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．

點評 本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的證明，考查空間想象能力，邏輯推理能力．