Question

14．如圖所示，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若E為BC的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）取G為AD邊的中點(diǎn)，連接PG，證明PG⊥AD，BG⊥AD，即可證明AD⊥平面PGB，然后證明AD⊥PB．
（2）當(dāng)F為PC邊的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：取PC的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，通過(guò)證明BG⊥PG，PG⊥AD，AD∩BG=G，PG⊥平面ABCD，即可證明平面DEF⊥平面ABCD．

解答 （2）證明：取G為AD邊的中點(diǎn)，連接PG，
因?yàn)椤鱌AD為正三角形，G為AD邊的中點(diǎn)，
所以PG⊥AD，
在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G為AD邊的中點(diǎn)，所以BG⊥AD，
因?yàn)镻G?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，
所以AD⊥平面PGB，因?yàn)镻B?平面PGB．
所以AD⊥PB．
（3）解：當(dāng)F為PC邊的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：
取PC 的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，
在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，
EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因?yàn)锽G⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因?yàn)镻G⊥AD，AD∩BG=G，
所以PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的證明，考查空間想象能力，邏輯推理能力．