Question

4．如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，則x+2y的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{MG}$=λ$\overrightarrow{GN}$，從而化簡可得$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）-x$\overrightarrow{AB}$=λ（y$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）），從而可得（3x-1）（3y-1）=1，換元3x-1=m，3y-1=n，從而可得x+2y=$\frac{1+m}{3}$+2×$\frac{1+n}{3}$=$\frac{m}{3}$+$\frac{2n}{3}$+1，從而利用基本不等式求最值．

解答 解：∵M(jìn)，N，G三點(diǎn)共線，
∴$\overrightarrow{MG}$=λ$\overrightarrow{GN}$，
∴$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AM}$=λ（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AG}$），
∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）-x$\overrightarrow{AB}$=λ（y$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}-x=-\frac{1}{3}λ}\\{\frac{1}{3}=λy-\frac{1}{3}λ}\end{array}\right.$，
解得，（3x-1）（3y-1）=1；
結(jié)合圖象可知$\frac{1}{2}$≤x≤1，$\frac{1}{2}$≤y≤1；
令3x-1=m，3y-1=n，（$\frac{1}{2}$≤m≤2，$\frac{1}{2}$≤n≤2）；
故mn=1，x=$\frac{1+m}{3}$，y=$\frac{1+n}{3}$；
故x+2y=$\frac{1+m}{3}$+2×$\frac{1+n}{3}$
=$\frac{m}{3}$+$\frac{2n}{3}$+1≥$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2}$+1，
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{m}{3}$=$\frac{2n}{3}$，即m=$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，等號成立），
故x+2y的最小值為$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2}$+1=$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{3}$；
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用及共線定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用．