Question

8．一房產(chǎn)商競標(biāo)得一塊扇形OPQ地皮，其圓心角∠POQ=$\frac{π}{3}$，半徑為R=200m，房產(chǎn)商欲在此地皮上修建一棟平面圖為矩形的商住樓，為使得地皮的使用率最大，準(zhǔn)備了兩種設(shè)計方案如圖，方案一：矩形ABCD的一邊AB在半徑OP上，C在圓弧上，D在半徑OQ；方案二：矩形EFGH的頂點在圓弧上，頂點G，H分別在兩條半徑上．請你通過計算，為房產(chǎn)商提供決策建議．

Answer 1

分析 分類討論，按照方案一，二的要求進行討論．
方案一：連OC，設(shè)$∠POC=x，x∈（0，\frac{π}{4}）$，設(shè)矩形ABCD的面積為y，則y=AB•BC，通過代入化簡，由三角函數(shù)的最值確定的條件，可以得出答案；
方案二：作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點M，N，連OE．設(shè)$∠MOE=α，α∈（0，\frac{π}{6}）$，設(shè)矩形EFGH的面積為S，求出S的式子，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值．
最后，比較二者最大值的大小，選出最大值即可得出答案．

解答 解：按方案一：如圖，連OC，設(shè)$∠POC=x，x∈（0，\frac{π}{4}）$，

在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，則DA=Rsinx
在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}=tan\frac{π}{3}$，得$OA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}DA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}Rsinx$，
則$AB=OB-OA=R（cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinx）$，設(shè)矩形ABCD的面積為y，則
y=AB•BC=${R}^{2}（sinxcosx-\frac{\sqrt{3}}{3}si{n}^{2}x）$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
由$x∈（0，\frac{π}{3}）$得$\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$．
所以當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$時${y_{max}}=（\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）{R^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{R^2}$．
按方案二：如圖作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點M，N，連OE．

設(shè)$∠MOE=α，α∈（0，\frac{π}{6}）$，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα
在Rt△ONH中，$\frac{NH}{ON}=tan\frac{π}{6}$，得$ON=\sqrt{3}NH=\sqrt{3}Rsinα$，
則$MN=OM-ON=R（cosα-\sqrt{3}sinα）$，設(shè)矩形EFGH的面積為S，
則S=2ME•MN=2R²sinα（cosα-$\sqrt{3}$sinα）=R²（sin2α+$\sqrt{3}$cos2α-$\sqrt{3}$）=$2{R^2}sin（2α+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{R^2}$
由$α∈（0，\frac{π}{6}）$，則$\frac{π}{3}＜2α+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，所以當(dāng)$2α+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{12}$時${S_{max}}=（2-\sqrt{3}）{R^2}$∵$\frac{{\sqrt{3}}}{6}-2+\sqrt{3}=\frac{{7\sqrt{3}-12}}{6}＞0$，即y_max＞S_max
答：給房產(chǎn)商提出決策建議：選用方案一更好．

點評 本題考查學(xué)生的計算能力，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，以及運用三角知識進行求解實際問題的能力，屬于中檔題．