Question

3．已$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，且$|\overrightarrow a|=2$，$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的正射影的數量為-1．

Answer 1

分析 根據向量數量積的關系進行化簡，結合向量投影的定義進行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，且$|\overrightarrow a|=2$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow b$）=0，即$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow b$²，則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow b$|=2，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow b$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow b$|cos120°=$-\frac{1}{2}×2×2$=-2，
則$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的正射影為$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-2}{2}=-1$，
故答案為：-1

點評 本題主要考查向量數量積的應用，根據向量垂直求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow b$以及利用向量射影的定義是解決本題的關鍵．