Question

已知函數(shù)f（x）=2

2

cosxsin（x+

π

4

）-1（x∈R）．則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值分別是（　　）

• A、最大值為

  2

  ，最小值為-1
• B、最大值為

  2

  ，最小值為-

  2

• C、最大值為2

  2

  -1，最小值為-2

  2

  -1
• D、最大值為1，最小值為-1

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運(yùn)用兩角和的正弦公式和二倍角公式，化簡(jiǎn)f（x），再由x的范圍，運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=2

2

cosxsin（x+

π

4

）-1
=2

2

cosx（

2

2

sinx+

2

2

cosx）-1=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
由于x∈[-

π

4

，

π

4

]，即有2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
即x=-

π

4

時(shí)，取得最小值，且為-1，
x=

π

8

時(shí)，取得最大值，且為

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查兩角和的正弦公式和二倍角公式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．