Question

如圖，動(dòng)圓D過定點(diǎn)A（0，2），圓心D在拋物線x²=4y上運(yùn)動(dòng)，MN為圓D在x軸上截得的弦，當(dāng)圓心D運(yùn)動(dòng)時(shí)，記|AM|=m，|AN|=n．
（Ⅰ）求證：|MN|為定值；
（Ⅱ）求

n

m

+

m

n

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)圓心（a，

a2

4

），則圓為（x-a）²+（y-

a2

4

）²=a²+（2-

a2

4

）²，由此能證明|MN|=4．
（Ⅱ）令∠MAN=θ，由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，又由S_△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA=4，得

16

mn

=2sinθ，由此能求出

n

m

+

m

n

的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)圓心（a，

a2

4

），
則圓為（x-a）²+（y-

a2

4

）²=a²+（2-

a2

4

）²，
當(dāng)y=0時(shí)，x=a±2，
∵M(jìn)N為圓D在x軸上截得的弦，
∴|MN|=4．
（Ⅱ）解：令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m²+n²-2mncosθ，
又由S_△AMN=

1

2

mnsinθ-

1

2

|MN|yA
=

1

2

×4×2=4，
∴

16

mn

=2sinθ，
∴

m

n

+

n

m

=2（sinθ+cosθ）
=2

2

sin（θ+

π

4

），
又

m

n

+

n

m

≥2
∴2≤

n

m

+

m

n

≤2

2

，
∴

n

m

+

m

n

的取值范圍是[2，2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的弦長(zhǎng)為定值的證明，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．