Question

3．已知{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₁=3，a₅=15，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}（n∈N⁺）是等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，求得d=3，寫出等差數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，{b_n-a_n}（n∈N⁺）是等比數(shù)列，得${q^3}=\frac{{{b_4}-{a_4}}}{{{b_1}-{a_1}}}=\frac{20-12}{4-3}=8$，求得q，
即可寫出{b_n}的通項(xiàng)公式${b_n}=3n+{2^{n-1}}（{n∈{N^+}}）$，
（2）根據(jù)${b_n}=3n+{2^{n-1}}（{n∈{N^+}}）$，分別求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得$d=\frac{{{a_5}-{a_1}}}{4}=\frac{15-3}{4}=3$
所以${a_n}={a_1}+（{n-1}）d=3n（{n∈{N^+}}）$．
設(shè)等比數(shù)列{b_n-a_n}的公比為q，由題意得${q^3}=\frac{{{b_4}-{a_4}}}{{{b_1}-{a_1}}}=\frac{20-12}{4-3}=8$，解得q=2．
所以${b_n}-{a_n}=（{{b_1}-{a_1}}）{q^{n-1}}={2^{n-1}}$．  從而${b_n}=3n+{2^{n-1}}（{n∈{N^+}}）$．
（2）由（1）知${b_n}=3n+{2^{n-1}}（{n∈{N^+}}）$．
數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為$\frac{3}{2}n（{n+1}）$．
數(shù)列{2^n-1}的前n項(xiàng)和為$1×\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$．
所以，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{3}{2}n（{n+1}）+{2^n}-1$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．