Question

14．已知數(shù)列{a_n}是首項和公差相等的等差數(shù)列，其前n項和為S_n，且S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{S_n}$，數(shù)列{b_n}的前項和T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀=55，求得55d=55，可解得a₁=d=1，寫出通項公式和前n項和公式；
（2）由（1）寫出數(shù)列{b_n}的通項公式，采用裂項法求出T_n的值，可判斷T_n的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a₁=d，a_n=a₁+（n-1）d=nd，
由S₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀=55d=55，解得d=1，
所以a_n=n，則${S_n}=\frac{1+n}{2}×n=\frac{1}{2}n（n+1）$．（4分）
（Ⅱ）可得${b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，（6分）
所以${T_n}=2（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$，（8分）
由于$2（1-\frac{1}{n+1}）$為隨n的增大而增大，可得1≤T_n＜2．
即T_n的取值范圍是[1，2）．（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式及采用裂項法求數(shù)列的前n項和，過程簡單，屬于中檔題．