Question

9．已知函數(shù)f（x）=4sinxcosx（x∈R），將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿(mǎn)足：y=g（x）在[a，b]上至少有20個(gè)零點(diǎn)，在所有滿(mǎn)足上述條件的[a，b]中，b-a的最小值為（　�。�

• A． 10π
• B． $\frac{29π}{3}$
• C． $\frac{28π}{3}$
• D． $\frac{55π}{6}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的零點(diǎn)，求出x的值，可得b-a的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=4sinxcosx=2sin2x （x∈R），
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，
得到函數(shù)y=g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1 的圖象，故g（x）的周期為T(mén)=$\frac{2π}{2}$=π，
在區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿(mǎn)足：y=g（x）在[a，b]上至少有20個(gè)零點(diǎn)，
即 sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$在[a，b]上至少有20個(gè)解．
∴有 2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{5π}{6}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，解得 x=kπ-$\frac{7π}{12}$，或x=kπ-$\frac{π}{4}$，
令k從0取到9，可得x的最小值為a=-$\frac{7π}{12}$，x的最大值b=$\frac{35π}{4}$，
在所有滿(mǎn)足上述條件的[a，b]中，b-a的最小值為$\frac{35π}{4}$+$\frac{7π}{12}$=$\frac{28π}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．