Question

4．某同學(xué)通過選拔考試進(jìn)入學(xué)校的“體育隊(duì)”和“文藝隊(duì)”，進(jìn)入這兩個(gè)隊(duì)成功與否是相互獨(dú)立的，能同時(shí)進(jìn)入這兩個(gè)隊(duì)的概率是$\frac{1}{24}$，至少能進(jìn)入一個(gè)隊(duì)的概率是$\frac{3}{8}$，并且能進(jìn)入“體育隊(duì)”的概率小于能進(jìn)入“文藝隊(duì)”的概率．
（Ⅰ）求該同學(xué)通過選拔進(jìn)入“體育隊(duì)”的概率p₁和進(jìn)入“文藝隊(duì)”的概率p₂；
（Ⅱ）學(xué)校對(duì)于進(jìn)入“體育隊(duì)”的同學(xué)增加2個(gè)選修課學(xué)分，對(duì)于進(jìn)入“文藝隊(duì)”的同學(xué)增加1個(gè)選修課學(xué)分，求該同學(xué)獲得選修課加分分?jǐn)?shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件利用概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式列出方程組，能求出該同學(xué)通過選拔進(jìn)入“體育隊(duì)”的概率p₁和進(jìn)入“文藝隊(duì)”的概率p₂．
（Ⅱ）依題意隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）∵某同學(xué)通過選拔考試進(jìn)入學(xué)校的“體育隊(duì)”和“文藝隊(duì)”，
進(jìn)入這兩個(gè)隊(duì)成功與否是相互獨(dú)立的，能同時(shí)進(jìn)入這兩個(gè)隊(duì)的概率是$\frac{1}{24}$，至少能進(jìn)入一個(gè)隊(duì)的概率是$\frac{3}{8}$，
并且能進(jìn)入“體育隊(duì)”的概率小于能進(jìn)入“文藝隊(duì)”的概率．
該同學(xué)通過選拔進(jìn)入“體育隊(duì)”的概率p₁和進(jìn)入“文藝隊(duì)”的概率p₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}{p}_{2}=\frac{1}{24}}\\{{p}_{1}+{p}_{2}-{p}_{1}{p}_{2}=\frac{3}{8}}\\{{p}_{1}＜{p}_{2}}\end{array}\right.$，
解得${p}_{1}=\frac{1}{6}，{p}_{2}=\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）依題意隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{1}{6}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{5}{8}$，
P（X=1）=（1-$\frac{1}{6}$）×$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{24}$，
P（X=2）=$\frac{1}{6}×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{1}{8}$，
P（X=3）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，
∴X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

E（X）=$0×\frac{5}{8}+1×\frac{5}{24}+2×\frac{1}{8}+3×\frac{1}{24}$=$\frac{7}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．