Question

12．已知A，B，C是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右、上頂點，點P是橢圓E上不同于A，B，C的一動點，若橢圓E的長軸長為4，且直線CA，CB的斜率滿足k_CA•k_CB=-$\frac{1}{4}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線AC與PB交于點M，直線CP交x軸與點N，
①當點M在以AB為直徑的圓上時，求點P的橫坐標；
②試問：$\frac{1}{{k}_{MN}}$-$\frac{1}{{k}_{CP}}$（k_MN，k_CP表示直線MN，CP的斜率）是否為定值？若是，求出該定值；若不是．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，B，C的坐標，運用直線的斜率公式，可得a=2b，由題意可得a=2，求得b=1，進而得到橢圓方程；
（2）①求得A，B，C的坐標，可得直線AC的斜率，由點M在以AB為直徑的圓上，可得AM⊥BM，
可得k_AC•k_BP=-1，即k_BP=-2，設(shè)P（x₀，y₀），由題意方程和直線的斜率公式，解方程可得P的橫坐標；
②求得直線CP的斜率，及方程，令y=0，可得N的坐標，再由直線AC，BP的方程可得M的坐標，運用兩點的斜率公式，可得MN的斜率，化簡整理即可得到定值2．

解答 解：（1）由題意可得A（-a，0），B（a，0），C（0，b），
則k_CA•k_CB=$\frac{a}$•$\frac{-a}$=-$\frac{1}{4}$，即為a=2b，
由題意可得a=2，則b=1，
即有橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）①由橢圓方程可得A（-2，0），B（2，0），C（0，1），
可得k_AC=$\frac{1}{2}$，
由點M在以AB為直徑的圓上，可得AM⊥BM，
可得k_AC•k_BP=-1，即k_BP=-2，
設(shè)P（x₀，y₀），可得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}=4}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=-2}\end{array}\right.$，消去y₀，可得17x₀²-64x₀+60=0，
解得x₀=$\frac{30}{17}$或x₀=2．
點P是橢圓E上不同于B的點，可得x₀=$\frac{30}{17}$；
②由上面可得k_CP=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$，即$\frac{1}{{k}_{CP}}$=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，
直線CP的方程為y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，令y=0，可得x=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，即N（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，0），
聯(lián)立直線AC，BP的方程，可得$\left\{\begin{array}{l}{y=1+\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）}\end{array}\right.$，
解得M（$\frac{2（2{y}_{0}+{x}_{0}-2）}{2{y}_{0}-{x}_{0}+2}$，$\frac{4{y}_{0}}{2{y}_{0}-{x}_{0}+2}$），
則$\frac{1}{{k}_{MN}}$=$\frac{2（2{y}_{0}+{x}_{0}-2）（{y}_{0}-1）+{x}_{0}（2{y}_{0}-{x}_{0}+2）}{4{y}_{0}（{y}_{0}-1）}$
=$\frac{2{y}_{0}+{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$•$\frac{2{y}_{0}-{x}_{0}+2}{4{y}_{0}}$，
即有$\frac{1}{{k}_{MN}}$-$\frac{1}{{k}_{CP}}$=$\frac{2{y}_{0}+{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$•$\frac{2{y}_{0}-{x}_{0}+2}{4{y}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$
=$\frac{2{y}_{0}+{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$•$\frac{-2{y}_{0}-{x}_{0}+2}{4{y}_{0}}$=1+$\frac{{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{4{y}_{0}}$（2+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）
=1-$\frac{1}{{y}_{0}}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4{y}_{0}（{y}_{0}-1）}$，
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，可得x₀²=4（1-y₀²），代入上式，可得
$\frac{1}{{k}_{MN}}$-$\frac{1}{{k}_{CP}}$=1-$\frac{1}{{y}_{0}}$-$\frac{4（1-{{y}_{0}}^{2}）}{4{y}_{0}（{y}_{0}-1）}$=1-$\frac{1}{{y}_{0}}$+$\frac{1+{y}_{0}}{{y}_{0}}$=2．
即$\frac{1}{{k}_{MN}}$-$\frac{1}{{k}_{CP}}$為定值2．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用直線的斜率公式，考查直徑所對的圓周角為直角，運用直線的斜率之積為-1，考查直線的交點的求法，注意聯(lián)立直線方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．