Question

20．已知點F（1，0），直線l：x=-1，直線l'垂直 l于點P，線段PF的垂直平分線交l’于點Q．
（Ⅰ）求點Q的軌跡 C的方程；
（Ⅱ）已知點 H（1，2），過F且與x軸不垂直的直線交C于A，B兩點，直線AH，BH分別交l于點M，N，求證：以MN為直徑的圓必過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線的定義可知：Q到直線x=-1的距離與到點F的距離相等，點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線方程的拋物線，即可求得點Q的軌跡 C的方程；
（Ⅱ）求得焦點坐標，設直線方程，代入拋物線方程，求得直線直線AH，BH的斜率分別為k₁，k₂，求得M和N的坐標，由韋達定理求得y_M•y_N=4，y_M+y_N=-$\frac{4}{m}$，代入圓的方程，即可求得x和y的值，則以MN為直徑的圓必過定點．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知丨QP丨=丨QF丨，即Q到直線x=-1的距離與到點F的距離相等，
∴點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線方程的拋物線，
設拋物線的方程y²=2px（p＞0），則p=2，
∴點Q的軌跡C的方程y²=4x；
（Ⅱ）證明：由題意可知：設直線AB：x=my+1（m≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4=0，
設A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，
又H（1，2），設直線AH，BH的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
直線AH：y-2=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$（x-1），BH：y-2=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$（x-1），
設M（-1，y_M），N（-1，y_N），
令x=-1，得：y_M=2-$\frac{8}{{y}_{1}+2}$=$\frac{2（{y}_{1}-2）}{{y}_{1}+2}$，
同理，得：y_N=2-$\frac{8}{{y}_{2}+2}$=$\frac{2（{y}_{2}-2）}{{y}_{2}+2}$，
y_M•y_N=$\frac{2（{y}_{1}-2）}{{y}_{1}+2}$•$\frac{2（{y}_{2}-2）}{{y}_{2}+2}$=$\frac{4[{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$=$\frac{4（-4-2×4m+4）}{-4+2×4m+4}$=-4，
y_M+y_N=（2-$\frac{8}{{y}_{1}+2}$）+（2-$\frac{8}{{y}_{2}+2}$）=4-8（$\frac{1}{{y}_{1}+2}$+$\frac{1}{{y}_{2}+2}$）=
=4-$\frac{8[（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$，
=4-$\frac{8[4m+4]}{-4+2×4m+4}$=-$\frac{4}{m}$，
由MN為直徑的圓的方程為（x+1）²+（y-y_M）（y-y_N）=0，
整理得：x²+2x-3+y²+$\frac{4}{m}$y=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{{x}^{2}+2x-3+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得：x=-3，x=1，
∴以MN為直徑的圓必過定點（-3，0）（1，0）．

點評 本題考查拋物線的定義及直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．