Question

8．下列命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為：（　�。�
①y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$的圖象關(guān)于（0，0）對稱；
②y=x³+x+1的圖象關(guān)于（0，1）對稱；
③y=$\frac{1}{{{x^2}-1}}$的圖象關(guān)于直線x=0對稱；
④y=sinx+cosx的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對稱．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷，①③，根據(jù)對稱的定義判斷②，根據(jù)三角函數(shù)的圖象判斷④

解答 解：①y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}-1}}$，f（-x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{x}-1+1}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$=-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$）=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于（0，0）對稱，故正確
②y=x³+x+1的圖象關(guān)于（0，1）對稱；
由題意設(shè)對稱中心的坐標(biāo)為（a，b），
則有2b=f（a+x）+f（a-x）對任意x均成立，代入函數(shù)解析式得，
2b=（a+x）³+3（a+x）+1+（a-x）³+3（a-x）+1對任意x均成立，
∴a=0，b=1
即對稱中心（0，1），故正確
③y=$\frac{1}{{{x^2}-1}}$的圖象關(guān)于直線x=0對稱，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)關(guān)于y軸（x=0）對稱，故正確，
④y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象關(guān)于直線x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$對稱，即x=$\frac{π}{4}$對稱，故正確．
故選：A

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)對稱中心和對稱軸的問題，關(guān)鍵是掌握其概念，屬于中檔題．