Question

【題目】已知橢圓E：（）的焦點為，以原點O為圓心，橢圓E的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點F的直線l交橢圓E于M，N兩點，點P的坐標為，直線與x軸交于A點，直線與x軸交于B點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）根據直線與圓相切列出對應方程，再結合橢圓的基本知識計算求解即可；

（2）先討論l與y軸重合時的情況，再在l與y軸不重合的情況下，設，，l的方程為，將之與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理.解法一：利用韋達定理化簡證明，從而證明出；解法二：設，，：，：，然后根據方程求出，再結合韋達定理證明，從而證明出.

（1）由已知得，，因此，

所以橢圓E的方程為.

（2）解法一：

①當l與y軸重合時，由題意知.

②當l與y軸不重合時，設l的方程為，，，則，，

直線，的斜率之和為，

由，得，

將代入，得，

，

所以，，

所以，

從而，故，的傾斜角互補，

所以，因此.

綜上所述，.

解法二：

①當l與y軸重合時，由題意知.

②當l與y軸不重合時，設l的方程為，，，則，，

將代入得.

，

所以，.

設：，：，，

易知，，

在中，令得，

在中，令得，

于是，

由，得

，

由于，因此，

所以點A與點B關于原點O對稱，

而點P在y軸上，因此.

綜上所述，.