Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，且，為等邊三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，點(diǎn)M在橢圓C上且位于第一象限內(nèi)，它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為N；過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為H，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)J，若，試求以線段為直徑的圓的方程；

（3）已知是過(guò)點(diǎn)A的兩條互相垂直的直線，直線與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)R，求面積最大值時(shí)，直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由題意可得，，由，，的關(guān)系，可得的值，進(jìn)而得橢圓方程；

（2）設(shè)，即有，，，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得，，求出的方程，代入橢圓方程，可得的坐標(biāo)，求得的中點(diǎn)坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而可得圓的方程；

（3）設(shè)，代入橢圓方程可得，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，再由三角形的面積公式，運(yùn)用配方和二次函數(shù)的最值得求法，即可得到所求直線的方程.

（1）由題意可得，即，又為等邊三角形，可得，

所以，

所以，橢圓的方程為：.

（2）設(shè)，即有，，，

由題意得，，即為，解得，

代入橢圓方程可得，，解得，即有，，

所以直線方程為：，將其代入橢圓方程得：，

由，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，則中點(diǎn)為，

所以圓的半徑為，

即以線段為直徑的圓的方程為：.

（3）設(shè)，代入橢圓方程可得，，

解得，，則，

由題意可得直線的方程為，代入圓的方程中，

由弦長(zhǎng)公式可得，

則的面積為

令，即有，

所以

所以當(dāng)，即有，此時(shí)，有最大值，

即有直線的方程為.