【題目】已知非空集合是由一些函數組成,滿足如下性質:①對任意,均存在反函數,且;②對任意,方程均有解;③對任意、,若函數為定義在上的一次函數,則.
(1)若,,均在集合中,求證:函數;
(2)若函數()在集合中,求實數的取值范圍;
(3)若集合中的函數均為定義在上的一次函數,求證:存在一個實數,使得對一切,均有.
【答案】(1)見詳解;(2);(3)見詳解;
【解析】
(1)由,根據性質①可得,且存在,使得
,由,且為一次函數,根據性質③即可證明.
(2)由性質②,方程,即在上有解,可得,
變形,.對與的關系分類討論,利用基本不等式的性質即可求解.
(3)任取,,由性質①,不妨設,
(若,則,),
由性質③函數,
由性質①:,
由性質③:
由性質②方程:,可得,即,即可得證.
(1)由,根據性質①可得,且存在,使得
,由,且為一次函數,
根據性質③可得:.
(2)由性質②,方程,即在上有解,,
由,
若,時,,且,
此時沒有反函數,即不滿足性質①.
若,時,函數在上單調遞增,此時有反函數,
即滿足性質①.
綜上:.
(3)任取,,由性質①,不妨設,
(若,則,),
由性質③函數,
由性質①:,
由性質③:
由性質②方程:,
,即,
,可得,,
,可得,,
由此可知:對于任意兩個函數,,
存在相同的滿足:,
存在一個實數,使得對一切,均有.
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【題目】記點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離,那么平面內到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是 ( )
A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和的直角坐標方程;
(2)過點作傾斜角為的直線交于兩點,過作與平行的直線交于點,若,求.
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【題目】已知是定義在上的函數,如果存在常數,對區(qū)間的任意劃分:,和式恒成立,則稱為上的“絕對差有界函數”。注:。
(1)證明函數在上是“絕對差有界函數”。
(2)證明函數不是上的“絕對差有界函數”。
(3)記集合存在常數,對任意的,有成立,證明集合中的任意函數為“絕對差有界函數”,并判斷是否在集合中,如果在,請證明并求的最小值;如果不在,請說明理由。
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【題目】若數列滿足則稱為數列.記
(1)若為數列,且試寫出的所有可能值;
(2)若為數列,且求的最大值;
(3)對任意給定的正整數是否存在數列使得?若存在,寫出滿足條件的一個數列;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的左焦點為F,短軸的兩個端點分別為A,B,且,為等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,點M在橢圓C上且位于第一象限內,它關于坐標原點O的對稱點為N;過點M作x軸的垂線,垂足為H,直線與橢圓C交于另一點J,若,試求以線段為直徑的圓的方程;
(3)已知是過點A的兩條互相垂直的直線,直線與圓相交于P,Q兩點,直線與橢圓C交于另一點R,求面積最大值時,直線的方程.
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【題目】某企業(yè)在“精準扶貧”行動中,決定幫助一貧困山區(qū)將水果運出銷售.現有8輛甲型車和4輛乙型車,甲型車每次最多能運6噸且每天能運4次,乙型車每次最多能運10噸且每天能運3次,甲型車每天費用320元,乙型車每天費用504元.若需要一天內把180噸水果運輸到火車站,則通過合理調配車輛,運送這批水果的費用最少為( )
A.2400元B.2560元C.2816元D.4576元
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【題目】某甲籃球隊的12名隊員(含2名外援)中有5名主力隊員(含一名外援),主教練要從12名隊員中選5人首發(fā)上場,則主力隊員不少于4人,且有一名外援上場的概率是_____.
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【題目】第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至2019年10月27日在中國武漢舉行,第七屆世界軍人運動會是我國第一次承辦的綜合性國際軍事體育賽事,也是繼北京奧運會之后我國舉辦的規(guī)模最大的國際體育盛會.來自109個國家的9300余名軍體健兒在江城武漢同場競技、增進友誼.運動會共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項、329個小項.經過激烈角逐,獎牌榜的前6名如下:
某大學德語系同學利用分層抽樣的方式從德國獲獎選手中抽取了9名獲獎代表.
(1)請問這9名獲獎代表中獲金牌、銀牌、銅牌的人數分別是多少人?
(2)從這9人中隨機抽取3人,記這3人中銀牌選手的人數為,求的分布列和期望;
(3)從這9人中隨機抽取3人,求已知這3人中有獲金牌運動員的前提下,這3人中恰好有1人為獲銅牌運動員的概率.
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