Question

7．設F為拋物線y²=8x的焦點，A、B、C為該拋物線上不同的三點，且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，O為坐標原點，若△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S₁、S₂、S₃，則S₁²+S₂²+S₃²=（　�。�

• A． 36
• B． 48
• C． 54
• D． 64

Answer 1

分析 確定拋物線y²=8x的焦點F的坐標，求出S₁²+S₂²+S₃²的表達式，利用點F是△ABC的重心，求得數(shù)值．

解答 解：設A、B、C三點的坐標
分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
∵拋物線y²=8x的焦點F的坐標為（2，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×|y₁|×2=|y₁|，
S₂=$\frac{1}{2}$×|y₂|×2=|y₂|，
S₃=$\frac{1}{2}$×|y₃|×2=|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=y₁²+y₂²+y₃²=8（x₁+x₂+x₃）；
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴點F是△ABC的重心，
∴$\frac{1}{3}$（x₁+x₂+x₃）=p=2，
∴（x₁+x₂+x₃）=6；
∴S₁²+S₂²+S₃²=6×8=48．
故選：B．

點評 本題考查拋物線的定義與性質的應用問題，也考查了三角形重心的性質，是中檔題．