15.在銳角△ABC中,a,b,c分別為∠A,∠B,∠所對的邊,若向量$\overrightarrow{m}$=(3,-sinA),$\overrightarrow{n}$=(a,5c),且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0.
(1)求$\frac{sin2C}{sin2C+co{s}^{2}C}$的值;
(2)若c=4,且a+b=5,求△ABC的面積.

分析 (1)由題意及平面向量數(shù)量積的運算可得3a=5csinA,由正弦定理化簡可得sinC,由同角三角函數(shù)關系式可求cosC,利用二倍角公式即可求值得解.
(2)由(1)及余弦定理可求ab的值,利用三角形面積公式即可得解.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{m}$=(3,-sinA),$\overrightarrow{n}$=(a,5c),且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0.
∴3a=5csinA,
∴3sinA=5sinCsinA,
∵sinA≠0,∴sinC=$\frac{3}{5}$.
∵△ABC為銳角三角形,∴cosC=$\frac{4}{5}$.
∴$\frac{sin2C}{sin2C+co{s}^{2}C}$=$\frac{2sinC•cosC}{2sinC•cosC+co{s}^{2}C}$=$\frac{2sinC}{2sinC+cosC}$=$\frac{2×\frac{3}{5}}{2×\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{5}$…(6分)
(2)由(1)可知sinC=$\frac{3}{5}$,cosC=$\frac{4}{5}$,
∵c=4,a+b=5
∴c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC,
∴16=25-2ab-2ab×$\frac{4}{5}$,∴ab=$\frac{5}{2}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{4}$…(12分)

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理,同角三角函數(shù)關系式,二倍角公式,余弦定理,三角形面積公式的綜合應用,考查了計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

19.已知C1:x2+y2+2kx+k2-1=0,圓C2:x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0.
(1)當k=1時,判斷兩圓的位置關系;
(2)設兩圓的交點為A,B,若∠AC1B=60°,求兩圓公共弦所在的直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

6.求方程3x-x=4的正實數(shù)解.(精確到 0.1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.求下列各式的值.
(1)$(2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}$-0.30-${16}^{-\frac{3}{4}}$;
(2)設${x}^{\frac{1}{2}}$+${x}^{-\frac{1}{2}}$=3,求x+x-1的值;
(3)${4^{{{log}_4}5}}-ln{e^5}+lg500+lg2$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.某幾何體的三視圖如圖,則此幾何體的體積為( 。
A.6B.34C.44D.54

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

20.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)經(jīng)過點$M(1,\frac{{\sqrt{2}}}{2})$,且其離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若F為橢圓C的右焦點,橢圓C與y軸的正半軸相交于點B,經(jīng)過點B的直線與橢圓C相交于另一點A,且滿足$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=2,求點A的坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

7.已知集合A={1,a,3},B={a+1,a+2,a2-1},若3∈A∩B,則實數(shù)a=-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

4.已知a=1.5-0.2,b=1.30.7,c=$(\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}$則a,b,c的大小為(  )
A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.設已知函數(shù)f(x)=|x-a|-$\frac{4}{x}$+a,a∈R,
(Ⅰ)當x∈[1,4]時,求函數(shù)f(x)的最大值的表達式M(a)
(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,使得f(x)=3有且僅有3個不等實根,且它們成等差數(shù)列,若存在,求出所有a的值,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案