Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且其離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若F為橢圓C的右焦點，橢圓C與y軸的正半軸相交于點B，經(jīng)過點B的直線與橢圓C相交于另一點A，且滿足$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=2，求點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的方程的定義和離心率即可求出；
（2）A（x₀，y₀），則$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$．③$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$，得到x₀-（y₀-1）=2，④，解得即可．

解答 解：（1）因為橢圓C經(jīng)過點$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1$．①
因為橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即a²=2b²．②
聯(lián)立①②解得，a²=2，b²=1．所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由（1）得，橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，所以F（1，0），B（0，1）．
設(shè)A（x₀，y₀），則$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$．③
因為$\overrightarrow{BA}=（{x_0}，{y_0}-1），\overrightarrow{BF}=（1，-1）$，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$，
所以x₀-（y₀-1）=2，即y₀=x₀-1．④
聯(lián)立③④解得，$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=0\\{y_0}=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{4}{3}\\{y_0}=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$，所以A（0，-1）或$A（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓、圓的方程，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．