Question

5．設(shè)已知函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{4}{x}$+a，a∈R，
（Ⅰ）當x∈[1，4]時，求函數(shù)f（x）的最大值的表達式M（a）
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得f（x）=3有且僅有3個不等實根，且它們成等差數(shù)列，若存在，求出所有a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題意，分a≤1，1＜a≤2，2＜a≤4，a＞4四種情況討論，從而根據(jù)分段函數(shù)及對勾函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求最大值即可；
（II）化簡函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-x-\frac{4}{x}，x∈（{-∞，a}]\\ x-\frac{4}{x}，x∈（{a，+∞}）\end{array}\right.$，從而不妨設(shè)f（x）=3的3個根為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，從而討論以確定a的值．

解答 解：（I）①當a≤1時，$f（x）=x-\frac{4}{x}$在[1，4]單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（4）=3；
②當1＜a≤2時，函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-x-\frac{4}{x}，x∈[{1，a}）\\ x-\frac{4}{x}，x∈[{a，4}]\end{array}\right.$在[1，a]上單調(diào)遞增，[a，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（4）=3；
③當2＜a≤4時，函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-x-\frac{4}{x}，x∈[{1，a}）\\ x-\frac{4}{x}，x∈[{a，4}]\end{array}\right.$在[1，2]上單調(diào)遞增，[2，a]上單調(diào)遞減，[a，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=max{f（2），f（4）}=$\left\{\begin{array}{l}{3，a∈[2，\frac{7}{2}]}\\{2a-4，a∈（\frac{7}{2}，4]}\end{array}\right.$；
④當a＞4時，f（x）=2a-x-$\frac{4}{x}$在[1，2]上單調(diào)遞增，[2，4]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（2）=2a-4；
綜上所述M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3，a∈[2，\frac{7}{2}]}\\{2a-4，a∈（\frac{7}{2}，4]}\end{array}\right.$；
（II）函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-x-\frac{4}{x}，x∈（{-∞，a}]\\ x-\frac{4}{x}，x∈（{a，+∞}）\end{array}\right.$，
不妨設(shè)f（x）=3的3個根為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃
當x＞a時，f（x）=3，解得x=-1，x=4；
①a≤-1，∵x₂=-1，x₃=4，∴x₁=-6，
由f（-6）=3，解得$a=-\frac{11}{6}$，滿足f（x）=3在（-∞，a]上有一解．
②-1＜a≤4，f（x）=3在（-∞，a]上有兩個不同的解，不妨設(shè)x₁，x₂，其中x₃=4，
所以有x₁，x₂是$2a-x-\frac{1}{x}=3$的兩個解，
即x₁，x₂是x²-（2a-3）x+4=0的兩個解．
得到$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2a-3\\{x_1}•{x_2}=4\end{array}\right.$，
又由設(shè)f（x）=3的3個根為x₁，x₂，x₃成差數(shù)列，且x₁＜x₂＜x₃，得到2x₂=x₁+4，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2\sqrt{3}-2\\{x_2}=1+\sqrt{3}\\ a=1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-2\sqrt{3}-2\\{x_2}=1-\sqrt{3}\\ a=1-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$（舍去）；
③a＞4，f（x）=3最多只有兩個解，不滿足題意；
綜上所述，$a=-\frac{11}{6}$或$a=1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了對勾函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．