Question

7．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a_n+1=4b_n，且b_n+1=a_n+b_n，x_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，則當(dāng)x₂₀₁₃+x₂₀₁₄最小時(shí)，x₂₀₁₅=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)a₂₀₁₃=A，b₂₀₁₃=B，得x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=$\frac{A+B}{B}+\frac{4B}{A+B}$-1≥2$\sqrt{\frac{A+B}{B}•\frac{4B}{A+B}}$-1=3，當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)，取得最小值3，由此能求出當(dāng)x₂₀₁₃+x₂₀₁₄最小時(shí)，x₂₀₁₅的值．

解答 解：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a_n+1=4b_n，且b_n+1=a_n+b_n，x_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，
設(shè)a₂₀₁₃=A，b₂₀₁₃=B，
∴x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=$\frac{{a}_{2013}}{_{2013}}+\frac{{a}_{2014}}{_{2014}}$=$\frac{{a}_{2013}}{_{2013}}+\frac{4_{2013}}{{a}_{2013}+_{2013}}$
=$\frac{A}{B}+\frac{4B}{A+B}$=$\frac{{A}^{2}+AB+4{B}^{2}}{B（A+B）}$
=$\frac{（A+B）^{2}-AB+3{B}^{2}}{B（A+B）}$
=$\frac{（A+B）^{2}-（A+B）B+4{B}^{2}}{B（A+B）}$
=$\frac{A+B}{B}+\frac{4B}{A+B}$-1
≥2$\sqrt{\frac{A+B}{B}•\frac{4B}{A+B}}$-1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)，取得最小值3，
此時(shí)，x₂₀₁₅=$\frac{{a}_{2015}}{_{2015}}$=$\frac{4_{2014}}{{a}_{2014}+_{2014}}$=$\frac{4（A+B）}{4B+（A+B）}$=$\frac{4（B+B）}{4B+（B+B）}$=$\frac{4}{3}$．
∴當(dāng)x₂₀₁₃+x₂₀₁₄最小時(shí)，x₂₀₁₅=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的第2015項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意換元法和均值定理的合理運(yùn)用．