Question

15．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=AD=2DC=2$\sqrt{2}$，PA=4且E為PB的中點．
（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）求直線CE與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PA中點Q，連結(jié)QE、QD，推導(dǎo)出四邊形QECD是平行四邊形，由此能證明CE∥平面PAD．
（2）過E作平面PAC的垂線，記垂足為O，連結(jié)CO，∠ECO是直線CE與平面PAC所成的角，過B作BN⊥AC，記垂足為N，過E作EM⊥AB=M，連結(jié)CM，由此能求出直線CE與平面PAC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：取PA中點Q，連結(jié)QE、QD，
∵E為PB中點，∴QE∥AB，且QE=$\frac{1}{2}$AB，
∵底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠BDA=90°，AB=AD=2DC=2$\sqrt{2}$，
∴QE∥CD，且QE=CD，∴四邊形QECD是平行四邊形，
∴EC∥QD，又FC?平面PAD，QD?平面PAD，
∴CE∥平面PAD．
（2）解：過E作平面PAC的垂線，記垂足為O，連結(jié)CO，
則∠ECO是直線CE與平面PAC所成的角，
過B作BN⊥AC，記垂足為N，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BN，
又PA，AC?平面PAC，且PA∩AC=A，
∴BN⊥平面PAC，
∴EO∥BN，又∵E是AB的中點，∴EO=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
過E作EM⊥AB=M，連結(jié)CM，得CE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CEO中，sin∠ECO=$\frac{EO}{CE}$=$\frac{\sqrt{30}}{15}$，
∴直線CE與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{15}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，注意空間思維能力的培養(yǎng)．