Question

8．雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為$\frac{\sqrt{15}}{5}$的直線交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線方程．

Answer 1

分析 先由題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線的點(diǎn)斜式方程，然后聯(lián)立方程組消去y得x的方程，再根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論．若5b²-3a²=0，可推出矛盾；若5b²-3a²≠0，設(shè)其兩根為x₁，x₂，則由根與系數(shù)的關(guān)系可利用a、b、c表示出x₁+x₂及x₁x₂，進(jìn)一步由OP⊥OQ即斜率乘積為-1得a、b、c的等式，又|PQ|=4得a、b、c的另一等式，且c²=a²+b²，最后解a、b、c的方程組即可．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
依題意知，過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為$\frac{\sqrt{15}}{5}$的直線y=$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x-c），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
整理得（5b²-3a²）x²+6a²cx-（3a²c²+5a²b²）=0 ①．
若5b²-3a²=0，則$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，即直線與雙曲線的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn)同，與題設(shè)矛盾，所以5b²-3a²≠0．
設(shè)方程①的兩個(gè)根為x₁，x₂，則有
x₁+x₂=-$\frac{6{a}^{2}c}{5^{2}-3{a}^{2}}$②，x₁x₂=-$\frac{3{a}^{2}{c}^{2}+5{a}^{2}^{2}}{5^{2}-3{a}^{2}}$③，
由于P、Q在直線y=$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x-c）上，可記為
P（x₁，$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x₁-c）），Q（x₂，$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x₂-c））．
由OP⊥OQ得$\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}（{x}_{1}-c）}{{x}_{1}}$•$\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}（{x}_{2}-c）}{{x}_{2}}$=-1，
整理得3c（x₁+x₂）-8x₁x₂-3c²=0  ④．
將②，③式及c²=a²+b²代入④式，并整理得
3a⁴+8a²b²-3b⁴=0，即（a²+3b²）（3a²-b²）=0．
因?yàn)閍²+3b²≠0，解得b²=3a²，
所以c=2a．
由|PQ|=4，得（x₂-x₁）²+[$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x₂-c）-$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x₁-c）]²=4²．
整理得（x₁+x₂）²-4x₁x₂-10=0  ⑤．
將②，③式及b²=3a²，c=2a代入⑤式，解得a²=1．
將a²=1代入b²=3a²得b²=3．
故所求雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，字母運(yùn)算能力是一大考驗(yàn)．