Question

20．已知點(diǎn)P在橢圓C：2x²+y²=4上，則P到M（1，0）的距離的最大值為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 橢圓C：2x²+y²=4化為：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，設(shè)P$（\sqrt{2}cosθ，2sinθ）$（θ∈[0，2π））．再利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：橢圓C：2x²+y²=4化為：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，
設(shè)P$（\sqrt{2}cosθ，2sinθ）$（θ∈[0，2π））．
∴|PM|=$\sqrt{（\sqrt{2}cosθ-1）^{2}+4si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{6-2（cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$≤$\sqrt{6}$，當(dāng)cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴P到M（1，0）的距離的最大值為$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性、橢圓的參數(shù)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．