Question

14．某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品．生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1200元．要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí)．假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為

W	12	15	18
P	0.3	0.5	0.2

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過(guò)10000元的概率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)每天A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x，y，相應(yīng)的獲利為z，列出可行域，目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)當(dāng)W=12時(shí)，當(dāng)W=15時(shí)，當(dāng)W=18時(shí)，分別求出目標(biāo)函數(shù)的最大獲利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．
（2）判斷概率類型是二項(xiàng)分布，然后求解所求概率即可．

解答 （12分）
解：（1）設(shè)每天A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x，y，相應(yīng)的獲利為z，則有
 $\left\{\begin{array}{l}2x+1.5y≤W\\ x+1.5y≤12\\ 2x-y≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，①如圖1，目標(biāo)函數(shù)為：z=1000x+1200y．
當(dāng)W=12時(shí)，①表示的平面區(qū)域如圖1，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．
將z=1000x+1200y變形為$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$，
當(dāng)x=2.4，y=4.8時(shí)，直線l：$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$在y軸上的截距最大，
最大獲利Z=Z_max=2.4×1000+4.8×1200=8160．
當(dāng)W=15時(shí)，①表示的平面區(qū)域如圖2，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．
將z=1000x+1200y變形為$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$，
當(dāng)x=3，y=6時(shí)，直線l：$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$在y軸上的截距最大，
最大獲利Z=Z_max=3×1000+6×1200=10200．
當(dāng)W=18時(shí)，①表示的平面區(qū)域如圖3，四個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．

將z=1000x+1200y變形為：$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$，
當(dāng)x=6，y=4時(shí)，直線l：y=-56x+z1200在y軸上的截距最大，最大獲利Z=Z_max=6×1000+4×1200=10800．
故最大獲利Z的分布列為：

Z	8160	10200	10800
P	0.3	0.5	0.2

因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
（2）由（Ⅰ）知，一天最大獲利超過(guò)10000元的概率P₁=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，
由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過(guò)10000元的概率為：
$P=1-{（1-{P}_{1}）}^{3}=0.973$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，線性規(guī)劃的應(yīng)用，二項(xiàng)分布概率的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．