Question

2．已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{9}$b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，注意等號成立的條件，即可求得最小值；
（2）運(yùn)用柯西不等式，注意等號成立的條件，即可得到最小值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，
當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時，等號成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值為a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{9}$b²+c²）（4+9+1）≥（$\frac{a}{2}$•2+$\frac{3}$•3+c•1）²=（a+b+c）²=16，
即$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{9}$b²+c²≥$\frac{8}{7}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\frac{1}{2}a}{2}$=$\frac{\frac{1}{3}b}{3}$=$\frac{c}{1}$，即a=$\frac{8}{7}$，b=$\frac{18}{7}$，c=$\frac{2}{7}$時，等號成立．
所以$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{9}$b²+c²的最小值為$\frac{8}{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．