Question

18．經(jīng)過點(diǎn)（2，1），且漸近線與圓x²+（y-2）²=1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{\frac{11}{3}}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{\frac{11}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{11}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{11}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{11}{3}}$=1

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的方程為mx²-ny²=1（mn＞0），將（2，1）代入雙曲線的方程，求得漸近線方程，再由直線和圓相切的條件：d=r，解方程可得m，n，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為mx²-ny²=1（mn＞0），
將（2，1）代入方程可得，4m-n=1，①
由雙曲線的漸近線方程y=±$\sqrt{\frac{m}{n}}$x，
圓x²+（y-2）²=1的圓心為（0，2），半徑為1，
漸近線與圓x²+（y-2）²=1相切，可得：
$\frac{2}{\sqrt{1+\frac{m}{n}}}$=1，即為$\frac{m}{n}$=3，②
由①②可得m=$\frac{3}{11}$，n=$\frac{1}{11}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{11}{3}}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．