Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，求：
（1）此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）此函數(shù)圖象在x=2處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得切線方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx的導數(shù)為f′（x）=x-$\frac{2}{x}$（x＞0），
當x＞$\sqrt{2}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜$\sqrt{2}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則f（x）的增區(qū)間為（$\sqrt{2}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\sqrt{2}$）；
（2）f′（x）=x-$\frac{2}{x}$（x＞0），則f′（2）=2-1=1，
則切線的斜率為k=1，切點為（2，2-2ln2），
即有切線方程為y-2+2ln2=x-2，
即為x-y-2ln2=0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查運算能力，屬于基礎題．