Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax（1-lnx）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＞1-e^x-（a-1）xlnx恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對原函數(shù)求導(dǎo)，然后在定義域內(nèi)解導(dǎo)數(shù)大于或小于0對應(yīng)的不等式，注意對a進行討論；
（2）先將給的不等式化簡歸零，這是一個不等式恒成立問題，所以構(gòu)造函數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=-alnx．
當(dāng)a=0時，f′（x）=0恒成立，顯然原函數(shù)不具有單調(diào)性；
當(dāng)a＜0時，由f′（x）＜0得，0＜x＜1，由f′（x）＞0得x＞1，
故此時原函數(shù)在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增；
同理可得當(dāng)a＞0時，原函數(shù)在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
（2）由題意f（x）＞1-e^x-（a-1）xlnx，（x＞0）可化為：
ax＞xlnx-e^x+1，因為x＞0，
所以$a＞lnx+\frac{1}{x}-\frac{{e}^{x}}{x}$，當(dāng)x＞0時恒成立．
令g（x）=$lnx+\frac{1}{x}-\frac{{e}^{x}}{x}$，則g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$．
因為x＞0，所以1-e^x＜0，所以當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0．
故函數(shù)g（x）在（0，1）上遞增，在[1，+∞）上遞減．
所以g（x）_max=g（1）=1-e．所以a＞1-e為所求．
故a的范圍是（1-e，+∞）．

點評 本題的第二問涉及到不等式恒成立前提下，求字母范圍的問題，一般是先分離參數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．