Question

17．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，其中n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{λa_n+$\frac{1}{_{n}}$}為等差數(shù)列？若存在，求出λ；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知的數(shù)列遞推式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，證明b_n+1-b_n為一個(gè)常數(shù)即可；
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，由數(shù)列{λa_n+$\frac{1}{_{n}}$}為等差數(shù)列，借助于等差中項(xiàng)的概念列式，推出滿足2（λa_n+$\frac{1}{_{n}}$）=λa_n-1+$\frac{1}{_{n-1}}$+λa_n+1+$\frac{1}{_{n+1}}$恒成立的λ不存在，即可說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{λa_n+$\frac{1}{_{n}}$}為等差數(shù)列．

解答 （1）證明：∵a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，
∴$_{n+1}-_{n}=\frac{1}{2{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{1}{2（1-\frac{1}{4{a}_{n}}）-1}-\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}-\frac{1}{2{a}_{n}-1}=\frac{2{a}_{n}-1}{2{a}_{n}-1}=1$．
又a₁=1，∴$_{1}=\frac{1}{2{a}_{1}-1}=1$，
則數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)是1，公差是1的等差數(shù)列；
（2）解：由數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)是1，公差是1的等差數(shù)列，得b_n=1+（n-1）×1=n，
∴n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，即${a}_{n}=\frac{n+1}{2n}$，
若存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{λa_n+$\frac{1}{_{n}}$}為等差數(shù)列，
則2（λa_n+$\frac{1}{_{n}}$）=λa_n-1+$\frac{1}{_{n-1}}$+λa_n+1+$\frac{1}{_{n+1}}$恒成立，
∴$2λ•\frac{n+1}{2n}+\frac{2}{n}=\frac{λn}{2（n-1）}+\frac{1}{n-1}+\frac{λ（n+2）}{2（n+1）}+\frac{1}{n+1}$恒成立，
整理得：$\frac{λ{(lán)n}^{2}+λn+4}{2n（{n}^{2}-1）}=0$恒成立．
滿足此時(shí)恒成立的λ不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了判斷數(shù)列為等差數(shù)列的條件，是中檔題．