Question

2．已知平面上的點(diǎn)集A及點(diǎn)P，在集合A內(nèi)任取一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到集合A的距離，記作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），那么d（P，A）=1；如果點(diǎn)集A所表示的圖形是邊長為2的正三角形及其內(nèi)部，那么點(diǎn)集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的圖形的面積為6+π．

Answer 1

分析 如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，設(shè)Q（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可得到最小值；討論P(yáng)的位置，得到點(diǎn)集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的圖形為三個邊長分別為2，1的矩形和三個半徑為1，圓心角為120度的扇形以及內(nèi)部，運(yùn)用面積公式計(jì)算即可得到．

解答 解：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，設(shè)Q（x，y），
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則|PQ|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（1-x）^{2}}$
=$\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}$=$\sqrt{2（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，由于0≤x≤1，即有x=1取得最小值1，
那么d（P，A）=1；
如果點(diǎn)集A所表示的圖形是邊長為2的正三角形及其內(nèi)部，
若P在正三角形及其內(nèi)部，則面積為0，
若P∉A，則點(diǎn)集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的圖形為
三個邊長分別為2，1的矩形和三個半徑為1，圓心角為120度的扇形以及內(nèi)部，
即有面積為3×2×1+3×$\frac{1}{3}$π=6+π，
故答案為：1，6+π．

點(diǎn)評 本題考查新定義：點(diǎn)P到集合A的距離的理解和運(yùn)用，考查集合的含義和運(yùn)算能力，屬于中檔題．