Question

3．已知拋物線y=x²，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，-1）、（3，1），在拋物線上求一點(diǎn)P使△ABP的面積最小并求出最小面積．

Answer 1

分析 求出直線AB的斜率，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)值與K_AB相等，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出三角形的高，即可求解三角形的面積的最小值．

解答 S_△ABC解：由題意可知K_AB=$\frac{1+1}{3-2}$=2，拋物線y=x²，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，-1）、（3，1），在拋物線上求一點(diǎn)P使△ABP的面積最小，這點(diǎn)就是與AB平行與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)切點(diǎn)為（a，a²），則y=x²，可得y′=2x，y′|_x=a=2a，2a=2，解得a=1，
切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），直線AB：y-1=2（x-3），可得2x-y-5=0．切點(diǎn)到直線的距離為：d=$\frac{|2-1-5|}{\sqrt{{2}^{2}+（{-1）}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
|AB|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}\left|AB\right|d$=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\frac{4}{\sqrt{5}}$=2．
所求面積的最小值為：2，此時(shí)P（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及三角形的面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．