Question

12．已知四面體ABCD中，每個面都有兩條邊長為3，有一邊為2，則四面體ABCD外接球的表面積為11π．

Answer 1

分析 考慮一個長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，其四個頂點就構(gòu)成一個四面體AB₁CD₁ 恰好就是每個三角形邊長為3，3，2，則四面體的外接球即為長方體的外接球，進(jìn)而計算出其外接球的直徑，可得外接球的表面積．

解答 解：設(shè)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的長寬高分別是a，b，c，其四個頂點就構(gòu)成一個四面體AB₁CD₁ 滿足每個面的邊長為3，3，2，
則a²+b²=9，b²+c²=9，c²+a²=4，
所以a²+b²+c²=11，
即長方體的外接球直徑2R=$\sqrt{11}$，
故外接球的表面積S=4πR²=11π，
故答案為：11π．

點評 在求一個幾何體的外接球表面積（或體積）時，關(guān)鍵是求出外接球的半徑，我們通常有如下辦法：①構(gòu)造三角形，解三角形求出R；②找出幾何體上到各頂點距離相等的點，即球心，進(jìn)而求出R；③將幾何體補(bǔ)成一個長方體，其對角線即為球的直徑，進(jìn)而求出R．