Question

13．如圖，AB是圓O的直徑，C、F為圓O上的點(diǎn)，CA是∠BAF的角平分線，CD與圓O切于點(diǎn)C且交AF的延長線于點(diǎn)D，CM⊥AB，垂足為點(diǎn)M．若圓O的半徑為1，∠BAC=30°，則DF•AM=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 首先由CA是∠BAF的角平分線推理出OC∥AD，然后由圓的切割線定理得到DC=CM，求出DF•AM的值．

解答 解：連接OC，則有∠OAC=∠OCA．
又CA是∠BAF的角平分線，∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠ACO，所以O(shè)C∥AD．
因?yàn)镈C是圓O的切線，所以CD⊥OC，則CD⊥AD．
由題意知△AMC≌△ADC，所以DC=CM，DA=AM．
因?yàn)镈C是圓O的切線，由切割線定理，得DC²=DF•DA=DF•AM=CM²．
在Rt△ABC中，AC=AB•cos∠BAC=$2cos{30°}=\sqrt{3}$，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
于是$DF•AM=C{M^2}=\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面幾何證明中圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查切割線定理，屬于中檔題．