Question

已知雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是實軸長的2倍．若拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，則拋物線C₂的方程為（　�。�

• A、x²=

  8 3

  3

  y
• B、x²=

  16 3

  3

  y
• C、x²=8y
• D、x²=16y

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是實軸長的2倍，推出a，b的關(guān)系，求出拋物線的焦點坐標，通過點到直線的距離求出p，即可得到拋物線的方程．

解答： 解：∵雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距是實軸長的2倍，
∴c=2a，即

a2+b2

a2

=4，
∴

b2

a2

=3，
雙曲線的一條漸近線方程為：

x

a

-

y

b

=0．
拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點（0，

p

2

）到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，
∴2=

| p 2b |

1 a2 + 1 b2

，
∵

b2

a2

=3，∴p=8．
∴拋物線C₂的方程為x²=16y．
故選：D．

點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，點到直線的距離公式，雙曲線的簡單性質(zhì)，考查計算能力．