Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0），雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞0，n＞0）的右焦點(diǎn)都與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F重合．
（1）若橢圓、雙曲線、拋物線在第一象限交于同一點(diǎn)P，求橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若雙曲線與拋物線在第一象限交于Q點(diǎn)，以Q為圓心且過拋物線的焦點(diǎn)F的圓被y軸截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析 （1）直接由題意求出橢圓和雙曲線的半焦距c，結(jié)合隱含條件求得橢圓的短半軸長(zhǎng)，則橢圓方程可求；聯(lián)立橢圓方程和拋物線方程，求得P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，再與雙曲線的隱含條件聯(lián)立求得m，n，則雙曲線方程可求；
（2）設(shè)出Q的坐標(biāo)，由已知列式求得Q的坐標(biāo)，再由勾股定理求出Q到雙曲線左焦點(diǎn)的距離，利用雙曲線定義求得實(shí)半軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率可求．

解答 解：（1）由拋物線y²=4x，得拋物線的交點(diǎn)F（1，0），
∴橢圓的半焦距c=1，則b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：P（$\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{9{m}^{2}}-\frac{8}{3{n}^{2}}=1}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：${m}^{2}=\frac{1}{9}，{n}^{2}=\frac{8}{9}$．
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{9}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{8}{9}}=1$；
（2）設(shè)Q（${x}_{0}，2\sqrt{{x}_{0}}$），則$（{x}_{0}+1）^{2}=（\sqrt{3}）^{2}+{{x}_{0}}^{2}$，解得x₀=1，
則QF與x軸垂直，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，
則（QF′）²=QF²+（2c）²=2²+2²=8，∴$QF′=2\sqrt{2}$，
則$2m=QF′-QF=2\sqrt{2}-2$，m=$\sqrt{2}-1$．
則雙曲線的離心率e=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程與雙曲線方程的求法，考查了圓與拋物線相交問題，關(guān)鍵是對(duì)拋物線定義的靈活運(yùn)用，是中檔題．