Question

18．已知函數(shù)y=f（x）滿足對于任意的x＞0恒有f（3x）=3f（x）成立，當1≤x≤3時，f（x）=1-|x-2|，則集合{x|f（x）=f（33）}中最小的元素為15．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出f（33）的值，根據(jù)條件關(guān)系，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式，進行解方程即可．

解答 解：由題意：
f（33）=3f（11）=9f（$\frac{11}{3}$）=27f（$\frac{11}{9}$），
又∵$\frac{11}{9}$∈[1，3]，∴f（$\frac{11}{9}$）=1-|$\frac{11}{9}$-2|=$\frac{2}{9}$
∴f（33）=27f（$\frac{11}{9}$）=27×$\frac{2}{9}$=6；
∵x∈[1，3]有f（x）=1-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，}&{1≤x＜2}\\{3-x，}&{2≤x≤3}\end{array}\right.$，
∴若x∈[3，9]，則$\frac{x}{3}$∈[1，3]，f（x）=f（3•$\frac{x}{3}$）=3f（$\frac{x}{3}$）=3[1-|$\frac{x}{3}$-2|]，
若x∈[9，27]，則$\frac{x}{3}$∈[3，9]，f（x）=f（3•$\frac{x}{3}$）=3f（$\frac{x}{3}$）=9[1-|$\frac{x}{9}$-2|]，
作出函數(shù)在[1，27]上的圖象如圖：
若f（x）=f（33）=6，
則滿足條件的最小x∈[9，18]，
此時有9[1-|$\frac{x}{9}$-2|]=6，
得|$\frac{x}{9}$-2|=$\frac{1}{3}$，
解得x=15，
故最小的元素為15，
故答案為：15．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，方程解的求解，根據(jù)條件將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．