Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）求f（x）的值域； 
（2）求不等式：f（x）≥x²-3x-1的解集．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)自變量x范圍的討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域；
（2）通過對(duì)自變量x范圍的討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，再解相應(yīng)的二次不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-2|-|x-5|，
∴當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=2-x-（5-x）=-3；
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7∈（-3，3）；
當(dāng)x≥5時(shí)，f（x）=x-2-（x-5）=3；
綜上所述，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-3，3]；
（2）∵|x-2|-|x-5|≥x²-3x-1，
∴當(dāng)x＜2時(shí)，x²-3x-1≤-3，
解得1≤x＜2；
當(dāng)2≤x＜5時(shí)，有x²-3x-1≤2x-7，
解得2≤x≤3；
當(dāng)x≥5時(shí)，有x²-3x-1≤3，
即得x∈Φ，
綜上所述，原不等式的解集為{x|1≤x≤3}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，突出考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查解一元二次不等式的運(yùn)算能力，屬于中檔題．