Question

6．已知圓C的圓心在坐標原點，且被直線3x+4y+15=0截得的弦長為8
（Ⅰ）試求圓C的方程；
（Ⅱ）當P在圓C上運動時，點D是P在x軸上的投影，M為線段PD上一點，且|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|．求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出到直線3x+4y+15=0的距離，利用$8=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}$，求出圓的半徑，即可求出圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點M的坐標是（x，y），P的坐標是（x_P，y_P），確定坐標之間的關(guān)系，利用P在圓x²+y²=25上，求點M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）已知圓C的圓心在坐標原點，且被直線3x+4y+15=0截得的弦長為8，
而圓心到直線3x+4y+15=0的距離d=3，
由弦長公式得$8=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}$，所以r=5
所以所求圓的方程為x²+y²=25；（5分）
（Ⅱ）設(shè)點M的坐標是（x，y），P的坐標是（x_P，y_P），
∵點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|，
∴x_P=x，且y_P=$\frac{5}{4}$y，∵P在圓x²+y²=25上，
∴x²+（$\frac{5}{4}$y）²=25，整理得$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，
即C的方程是$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．（5分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查代入法求圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．