Question

18．已知函數(shù)$f（x）=3sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，其中0＜ω＜2．若點$（-\frac{π}{6}，0）$為函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）的周期和單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$f（{-\frac{π}{6}}）=0$，從而得$-\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，結(jié)合范圍0＜ω＜2即可求得ω的值．
（2）由（1）可得$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$，根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法可求周期，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$可解得單調(diào)增區(qū)間．

解答 （本小題共13分）
解：（1）點$（-\frac{π}{6}，0）$為函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心
⇒$f（{-\frac{π}{6}}）=0$，即：$sin（-\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}）=0$…（3分）
⇒$-\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$
⇒ω=1-3k，k∈Z…（6分）
又因為0＜ω＜2，
所以ω=1．…（7分）
（2）由（1）知ω=1，則$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$，
所以$T=\frac{2π}{2}=π$…（9分）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$得$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}kπ$…（11分）
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]，k∈Z$． …（13分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．