Question

16．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)F₁，右焦點(diǎn)F₂均在x軸上，A為橢圓的右頂點(diǎn)，B為橢圓短軸的端點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF₁⊥x軸，PF₂∥AB，則此橢圓的離心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 先畫(huà)出圖形，設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，求出P，F(xiàn)₂，A，B四點(diǎn)的坐標(biāo)，從而根據(jù)PF₂∥AB即可得${k}_{P{F}_{2}}={k}_{AB}$，從而可得到b=2c，根據(jù)a²=b²+c²即可得出$a=\sqrt{5}c$，從而得到該橢圓的離心率$\frac{c}{a}$．

解答 解：如圖，
設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$；
∴x=-c時(shí)，${y}^{2}=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，∴$P（-c，\frac{^{2}}{a}）$，F(xiàn)₂（c，0）；
又A（a，0），B（0，b），PF₂∥AB；
∴${k}_{P{F}_{2}}={k}_{AB}$；
∴$-\frac{^{2}}{2ac}=-\frac{a}$；
∴b=2c；
$a=\sqrt{^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{5}c$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即橢圓的離心率為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可表示橢圓的焦點(diǎn)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的方程，已知橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)能求其縱坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線(xiàn)斜率，以及兩平行直線(xiàn)的斜率關(guān)系，橢圓離心率的概念及計(jì)算．